數學不難

高中數學放了一堆屁用也沒有的東西，行列式、幾何、排列組合...，還不如拿來學線性代數，會讓你對數學其他的主題有嶄新的觀點，例如向量好了，我們衡量向量的大小，是利用畢氏定理，先將每個座標的分量求平方和再開平方，它就是範數的概念：向量的每個分量的絕對值求n次方和，再開n次根號，即為向量的n-範數，可以在不同的空間衡量向量的大小，做機器學習會用到（請參看Lp空間），當統計的單元你背得很痛苦時，課綱只會愚弄你，隱瞞公式背後的來由一組數據求迴歸直線，為何要取殘差平方和最小？不妨把迴歸的近似值與數據的差距看做一組向量，近似與實際值的誤差函數是該向量的2-範數，誤差越小代表直線預測數據的精確度越高，另一個概念，內積與正交範數就是長度概念的推廣，三角形兩邊之和大於第三邊，空間裡（metrix space及normed space）也是，兩向量的範數和≥兩向量和的範數（||x||+||y||≥||x+y||），你如果將不等式兩邊平方並化簡，便能得到柯西舒瓦茲不等式：兩向量的範數積≥兩向量內積(||x||||y||≥x•y)，仔細觀察，它與餘弦定理有密切的關聯，餘弦定理用來求第三邊長，兩個向量夾角的餘弦值可透過這個式子推廣，即內積除以兩向量的範數，兩個向量垂直，即cos值為0，表示兩個向量無關，稱作正交回到統計的主題上，當有兩組數據，我們利用相關係數衡量兩組數據，仔細一看相關係數的公式，欸，不就是兩向量cos值的公式嗎？高中背得要死要活的，理解後完全不用背，向量空間中，每個向量能用這個向量空間的基底（指一組線性獨立的向量，都不能被彼此的線性組合表示）表示，譬如(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)是標準正交基，兩兩正交且範數都是1，如過遇到基底不正交，可使用Gram－Schmidt正交化使基底皆為正交，兩個函數如果可積，且兩個函數的積也可積，則可以視為希爾伯特空間的兩個向量例如［-1，1］上的多項式函數，執行正交化，可以得到勒攘得多項式傅立葉級數也是選去三角函數為基底，因為三角函數有正交的特性（exp(ix)=cosx+isinx），而係數只需內積並除以向量的範數便可獲得，數學一點也不難，難在課綱都亂編排，打亂學習的次序先把線性代數學好，高中大學就會很好過，它比微積分簡單，學了能體驗到觸類旁通的感覺，聽我的就對了，（其實黎曼積分在講切割與子區間的地方，提到區間的範數為最大子區間的長度，就是把所有子區間的長度看作一組向量，Lp空間的p為無限時，向量的範數為最大的分量絕對值看，微積分也用得著）， 匿名 @2021-10-13 01:24:55

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